LE NOMBRE D'OR

Publié le 26 Septembre 2007 par JAIME

NOMBRE D’OR avec comme symbole Φ

Nous avons, de par notre éducation et formation culturelle une notion du nombre d’or sans le savoir. Pour le découvrir il suffit de tracer un « BEAU » rectangle. Dans la majorité des dessins les proportions de ces rectangles seront dans le rapport du nombre d’or. Plusieurs formes de nombre d'or : Nombre d'or en astronomie : L’astronome grec Méton aurait découvert en 433 av. J.-C. que 19 années solaires valent 235 lunaisons : après dix-neuf années, les phases de la Lune reviennent aux mêmes dates des mêmes mois. C'était une découverte essentielle apte à fixer le calendrier. Le rang d'une année dans le cycle de Méton prit le nom de nombre d'or. Le nombre d'or est donc compris entre 1 et 19. Le nombre d'or est égal au reste de la division par 19 du millésime de l'année, augmenté de 1; l'an 1 de l'ère chrétienne ayant 2 pour nombre d'or. Cette découverte a été rendue publique lors des Jeux Olympiques. Les Athéniens décidèrent de faire graver « en lettre d’or » ce cycle sur les colonnes du temple de Minerve.

Attention : Ne pas confondre avec le nombre d'or en mathématiques qui est une valeur fixe (voir ci-dessous). De nos jours, vous pouvez retrouver sur certains calendriers cette indication du nombre d’or de l’année considérée (voir éventuellement sous février).

En arithmétique, en dessin, en architecture, ce nombre irrationnel correspond à un rapport de proportion considérée comme particulièrement esthétique. Ce rapport est encore appelé "divine proportion". Il se retrouve aussi dans la nature (règne végétal) et dans différents autres arts (par exemple en musique entre l'intervalle des notes et le rapport des fréquences).

Harmonie : On peut lire dans certains écrits : « … partager selon la moyenne et extrême raison ». Qu’est-ce-que cela veut dire ? Là, nous revenons à l’Antiquité avec Vitruve *** (celui de l’homme de Léonard de Vinci ... voir compléments sous Suite de FIBONACCI) qui au sujet de ce partage disait : « le rapport entre le tout et la plus grande partie de ce tout équivaut à celui qui existe entre la plus grande et la plus petites de ces parties ». Et là nous replongeons dans la « section d’or », longueur et rapport et du « nombre d’or », résultat de ce rapport. Nous pouvons obtenir ce rapport par l’intermédiaire du tracé ci-contre. Explications.

Traçons une horizontale de X cm et posons un carré de 10 cm sur cette ligne. Nous obtenons le carré ABCD. Au milieu de DC nous avons le point M. Plaçons la pointe d’un compas sur cette intersection M et avec une ouverture MB traçons un quart de cercle (tracé en vert) qui coupe notre horizontale en F. Si nous élevons une verticale à partir du point F, celle-ci va couper en E la prolongation de notre horizontale AB. Nous obtenons un rectangle AEFD.
Si vous mesurez la distances BE vous trouverz 6,18 cm et notre nouveau rectangle AEFD est dans le rapport du nombre d’Or.
Revenons à notre explication de Vitruve ce qui nous donnera : le tout = DF, DC pour la plus grande du tout et CF pour la plus petite. En calculant nous obtenons :
DF divisé par DC = 16,18 : 10 = 1,618
et DC divisé par CF = 10 : 6,18 = 1,6186. C’est notre fameux rapport du nombre d’or, 1,618 appelé Phi et représenté par le symbole Φ
En arithmétique, la formule de ce rapport s’écrit :
Φ (Phi) = (racine carrée de 5 + 1) : 2 = 1,618

Ci-dessous, le tracé d'un "rectangle d'or" ABCD dans cette proportion : largeur = 1,0 et longueur = 1,618. En juxtaposant à ce rectangle un carré BEFC, nous obtenons un nouveau rectangle dans cette même proportion phi : (1,0 + 1,618) : 1,618 = 1,618

LA SPIRALE D’OR

Rappel : La valeur du nombre d’or approchée, nombre irrationnel est de 1,6180339875... En multipliant ce nombre par lui-même, à savoir 1,61803 x 1,61803, vous obtenez 2,618. Ce qui revient à écrire 1,61803 + 1. De là découle la construction ci-dessous.

Pour construire une spirale d’or, dessinez un petit rectangle dans les proportions de phi = 1.618. Ici, le plus petit rectangle 1.
Ajoutez à ce rectangle le carré 2 de même dimension que la longueur de ce rectangle pour obtenir le rectangle 1+2. Continuez en ajoutant le carré 3 pour obtenir le rectangle 1+2+3. Puis ajoutez le carré 4 pour obtenir le rectangle 1+2+3+4 ... et ainsi de suite.

Tous les rectangles obtenus sont dans ce même rapport du nombre d’or, à savoir, en divisant la longueur par la largeur du rectangle vous trouverez 1,618.
Vous remarquerez également, que les 2 diagonales correspondent à la diagonale de chaque rectangle successivement obtenu.

Représentation de la spirale d’or : il faut tout simplement tracer un quart de cercle ayant pour centre l’angle du carré ajouté.